Göttsche wurde ab dem Altersbereich U10 im Nachwuchs des TSV Schapen ausgebildet.[2] In der Saison 2018/19 spielte er für die Jugendmannschaft des Bundesligisten Basketball Löwen Braunschweig in der Nachwuchs-Basketball-Bundesliga.[3]
Er bestritt am ersten Spieltag der Saison 2019/2020 unter Trainer Peter Strobl in den Braunschweiger Farben seinen ersten Einsatz in der Basketball-Bundesliga.[4] Im Spieljahr 2021/22 fehlte Göttsche wegen einer Sprunggelenksverletzung, die einen Eingriff erforderlich machte, monatelang.[5]
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