Livio Trapè s'illustre chez les amateurs aux Jeux olympiques de Rome en 1960. Il est Champion olympique du 100 km contre-la-montre par équipes avec ses compatriotes Ottavio Cogliati, Giacomo Fornoni et Antonio Bailetti. Dans l'épreuve sur route individuelle, il échoue de quelques centimètres face au Soviétique Viktor Kapitonov.
Sa carrière professionnelle ne répond pas aux attentes. Lors du Tour d'Italie 1961, il se fracture le col du fémur. Sa meilleure performance est sa deuxième place lors du Tour de Lombardie 1962.
Il ne termine jamais le Tour d'Italie lors de ses trois participations. On peut noter une troisième place lors de la quinzième étape en 1964.
Son frère aîné Ardelio a également été coureur cycliste chez les amateurs.
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