In carriera, Balme partecipò ai Giochi della II Olimpiade di Parigi nel 1900 dove vinse la medaglia di bronzo nella prova di pistola automatica dai 25 metri. Disputò anche i Giochi della IV Olimpiade di Londra nel 1908 dove vinse un'altra medaglia di bronzo nella gara di carabina libera a squadre.
Fu più volte presente anche ai Campionati mondiali di tiro dove ottenne buoni successi.
Si suicidò con due pistole a causa di un esaurimento nervoso nel 1914, nella sua casa di Parigi.
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