Mentre era in Australia, Green ha frequentato la King's School di Sydney ed è stato selezionato per rappresentare la squadra statale Under-16 del New South Wales all'età di 13 anni. Più tardi quell'anno, la famiglia Green si è trasferita a Phoenix, in Arizona, e nel 2015 Josh si è iscritto alla Mountain Ridge High School. Nel 2017, si è trasferito alla IMG Academy in Florida. Nella partita finale della sua carriera al liceo, Green ha portato IMG alla vittoria del campionato nazionale battendo per 65-55 La Lumieree e conquistando il titolo di MVP del campionato. È stato selezionato per il McDonald's All-American Boys Game 2019 insieme a Niccolò Mannion.
College
Nella sua seconda partita al college ha segnato 20 punti mentre Arizona ha battuto Illinois per 90-69. Ha saltato la partita contro UCLA il 29 febbraio a causa di una distorsione alla parte bassa della schiena. Ha registrato una media di 12,0 punti, 4,6 rimbalzi, 2,6 assist e 1,5 palle recuperate a partita per i Wildcats. Dopo la stagione, ha dichiarato la sua eleggibilità per il Draft NBA 2020.
NBA
Dallas Mavericks (2020-)
Il 18 novembre 2020, al Draft NBA 2020, viene chiamato con la 18ª assoluta dai Dallas Mavericks.
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