Bradshaw ha iniziato la sua carriera nell'Aberystwyth Town, dove restò un anno per poi accasarsi allo Shrewsbury Town dove gioca attualmente. Fece il suo debutto con la squadra nel match di League Two contro il Crewe Alexandra il 10 aprile 2010, che si concluse con la vittoria dello Shrewsbury per 3-0 e in cui Bradshaw siglò una doppietta.
Nazionale
Anche se nato a Shrewsbury, in territorio inglese, Bradshaw si trasferì subito a Tywyn, nel Gwynedd (in Galles), dove è cresciuto. Nel settembre 2010 viene quindi chiamato a far parte della nazionale Under-19, con la quale segnò al debutto nel match vinto per 2-0 contro il Liechtenstein. Un anno dopo viene chiamato nell'Under-21, con cui esordì contro il Montenegro, segnando anche un gol.
Ha debuttato il 28 marzo 2016 in Nazionale maggiore nell'amichevole persa per 1-0 contro l'Ucraina.
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