Nel 2016, a tredici anni, è diventata la più giovane vincitrice dei campionati assoluti danesi, battendo il record di Caroline Wozniacki, quattordicenne all'epoca. A livello juniores ha conquistato la vetta del ranking ITF e vinto sette titoli in singolare, e l'Australian Open juniores del 2019. Nel 2017 ha anche trionfato al Festival olimpico della gioventù europea.
In Fed Cup ha disputato 10 incontri, con un bilancio di 5 vittorie e altrettante sconfitte.
È allenata da Olivier Jeunehomme.
2021 - primi titoli WTA e top-50
A livello WTA, nel 2021 ha vinto due titoli 250, oltre al WTA 125K di Chicago: il primo trionfo della carriera nel circuito maggiore è arrivato in marzo a Lione, dove, partendo dalle qualificazioni, ha vinto il trofeo battendo in finale Golubic per 6-4 6-1. In settembre, Tauson ha vinto il secondo titolo WTA 250 in quel di Lussemburgo, sconfiggendo la finalista olimpica in carica Vondroušová (6-4 2-6 6-4) in semifinale e la ex campionessa del Roland Garros Jeļena Ostapenko nell'ultimo atto, con il punteggio di 6-3 4-6 6-4. Grazie all'ottima stagione disputata, la danese è salita nella top-100 del ranking, posizionandosi ai piedi della top-50 (n°52) dopo il successo in Lussemburgo. A fine ottobre, la danese raggiunge la terza finale dell'anno in quel di Courmayeur, vincendo su Li nei quarti (3-6 6-4 6-2) e rimontando la n°3 del seeding Samsonova in semifinale (4-6 7-6(8) 6-4), annullando ben due match-point alla russa nel tie-break del secondo parziale. Nell'ultimo atto trova la croata Donna Vekić: Tauson perde la sua prima finale WTA in carriera con lo score di 6(3)-7 2-6.
A livello slam, Clara ottiene il secondo turno al Roland Garros e allo US Open, mentre a Wimbledon si è fermata al primo.
Termina l'anno al n°44 del pianeta.
2022 - best ranking
Clara comincia l'anno al Melbourne Summer Set II, dove raggiunge i quarti battendo Kalinina (7-5 6-3) e Zhu (6-1 6-0); tra le ultime otto, è costretta al ritiro contro Sasnovič (sul 3-6 0-2). All'Australian Open, la danese raggiunge il suo primo terzo turno slam della carriera, sconfiggendo Astra Sharma (6-3 6-4) e poi la n°7 del mondo Anett Kontaveit per 6-2 6-4, collezionando la sua prima vittoria su una top-10. La sua avventura termina ai sedicesimi, battuta dalla futura finalista Danielle Collins (6-4 4-6 5-7). A Dubai non passa le qualificazioni, fermandosi al secondo turno contro Jastrems'ka. Il 7 febbraio, la danese coglie il suo best ranking piazzandosi 33º nelle classifiche mondiali. A Doha, elimina la campionessa olimpica Belinda Bencic per 6-4 3-6 6-3.
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